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Mathematik kann glücklich machen – entscheidend ist, wie es unterrichtet wird

Wie kann man Schüler für Mathematik begeistern? Der Mathematiker Rudolf Taschner erklärt, wie er es macht und warum Mathe sogar glücklich machen kann.

Das brauch ich nie wieder!

Hat der Mathematik-Unterricht dich in der Schule unglücklich gemacht? Der österreichische Mathematiker Rudolf Taschner glaubt, dass die Qualität des Unterrichts entscheidend ist, um Schülerinnen und Schüler von Mathe zu begeistern und ihnen greifbar zu machen, wofür sie das Wissen gebrauchen können. Rudolf Taschner leitet mit seiner Frau Bianca das populärwissenschaftliche Projekt math.space im Wiener Museumsquartier. Er ist Autor etlicher Bücher, wurde 2004 in Österreich zum Wissenschaftler des Jahres gewählt und ist Träger etlicher weiterer Auszeichnungen.

Maren Hoffmann hat für unseren Partner Manager Magazin mit ihm ein spannendes Interview geführt.

Herr Taschner, wie kann Mathematik glücklich machen?

„Indem sie lehrt, zu verstehen. Verstehen ist schön, daher wollen wir alle verstehen, wirklich von Grund auf verstehen. Und die Mathematik ist jene Wissenschaft, bei der alles so klar und einsichtig ist, wie die Tatsache, dass sechs mal sieben 42 ergibt.“

Zu wissen, dass sechs mal sieben 42 ergibt, macht mich ehrlich gesagt noch nicht sehr glücklich.

„Da haben Sie ganz recht. Doch dass ich wirklich ein für alle Mal beweisen kann, dass zum Beispiel die Folge der Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13 … nie endet, ist von ganz anderer Qualität. Das Tolle dabei ist die Überzeugungskraft des Beweises. Man sagt, dass Menschen zu weinen beginnen, wenn sie diesen Beweis kennenlernen: Die einen Freudentränen, weil er so elegant ist – und die anderen Wehmutstränen, weil sie ihn noch nicht ganz verstanden haben. Dass zum Beispiel mit 2, 3, 5, 7, 11, 13 nicht alle Primzahlen erfasst sind, erklärte Euklid so:

Wären 2, 3, 5, 7, 11, 13 wirklich alle Primzahlen, müsste die Zahl 2x3x5x7x11x13 + 1 = 30.030 + 1 = 30.031 durch eine dieser Zahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13 teilbar sein, denn andere Primzahlen stünden als Teiler nicht zur Verfügung. Aber das stimmt nicht, weil bei der Division von 30.031 durch jede der Zahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13 immer der Rest 1 übrig bleibt. Darum ist 30.031 entweder selbst eine Primzahl, oder durch Primzahlen teilbar, die nicht 2, 3, 5, 7, 11 oder 13 lauten. Nebenbei: 30.031 ist das Produkt der Primzahlen 59 und 509. So klappt der Beweis immer, auch wenn die vorgelegte Liste von endlich vielen Primzahlen sehr lang ist: Man multipliziert sie alle miteinander und gibt zu dem gigantisch groß gewordenen Produkt noch 1 hinzu. Schon hat man eine Zahl gefunden, die von den Primzahlen der Liste nicht geteilt werden kann.“

Mathematiker können oft nicht verstehen, wie groß der Widerwille der Mathe-Hasser ist. Können Sie es überhaupt nachvollziehen, wenn ein Schüler sagt: Das ist für mich nur Quälerei?

„Oft wird Mathematik falsch unterrichtet. So wie wenn man im Musikunterricht alle zwingen würde, auf dem Klavier Tonleitern zu klimpern: das wäre wirklich eine sinnlose Quälerei, und die Schönheit der Musik bliebe auf der Strecke. Leider läuft der Mathematikunterricht häufig so völlig verkehrt ab.“

Was genau läuft denn falsch?

„Betrachten wir als Beispiel gleich die Musik selbst: Warum nennt man den Ton C, der in der Oktave gespielt wird, auch c? Weil die Frequenz der Oktave das Doppelte der Frequenz des Grundtons ist. Und bei der Oktave darüber das Vierfache, dann das Achtfache, dann das 16-Fache usw. Das nächste schön klingende Intervall nach der Oktave ist die Quint C-G. Die Frequenz des Tones G ist das 3/2-Fache des Grundtones C. Und die der Quint darüber, des Tones d, das 3/2-mal-3/2-Fache, also das 9/4-Fache des Grundtones C, und auch dies setzt sich so fort.“

Pythagoras fragte: Kann man Quinten so aufeinandertürmen, dass man wieder zum Grundton in einer höheren Oktav zurückkehrt? Es scheint fast zu gelingen: Türmt man zwölf Quinten aufeinander, scheint dies mit dem Turm von sieben Oktaven übereinzustimmen: Es ist dies der berühmte Quintenzirkel c-g-d-a-e-h-fis-cis-as-es-b-f-c. So entstehen die Tasten auf dem Klavier. Aber ganz genau stimmt es nicht, denn 3/2, zwölf Mal mit sich multipliziert, ist nur ungefähr, aber nicht ganz genau 2, sieben Mal mit sich multipliziert.

Den kleinen Unterschied nennt man das ,pythagoräische Komma‘, das man beim Stimmen des Klaviers ,verwischen‘ muss. Aber die Schönheit des Klangs der Töne gründet auf solchen Zahlen. Und ihr eigentlicher Reiz an den kleinen Ungenauigkeiten wie dem pythagoräischen Komma. Eigentlich ist die Musik nichts anderes als ein verborgenes Zahlenspiel. Im Mathematikunterricht sollten Geschichten wie diese erzählt werden – bei diesem konkreten Beispiel soll man die Töne wirklich vorspielen und die Kinder hören lassen. Das Rechnen selbst ist nebensächlich, nur auf das Verstehen der Bezüge zwischen Musik und Mathematik kommt es an – und selbst wenn man nur eine Ahnung dieses Verstehens in sich aufnimmt, hat man gewonnen.“

Hinter jeder Rechnung stecken Bilder, die faszinieren

Sie schreiben: ,Die Unlust, sich mit Mathematik zu beschäftigen, rührt bei den meisten Menschen daher, dass sie sich davor fürchten, Fehler zu begehen, von deren Herkunft sie keine Ahnung haben.‘ Ist es nicht eher so, dass das mathematische Denken einen Abstraktionsgrad verlangt, der für unseren Alltag wenig relevant ist?“

„Nicht der Grad der Abstraktion ist der Stolperstein, sondern die Tatsache, dass man Abstraktes lernen soll, von dem man gar nicht weiß, wovon es ,abstrahiert‘ wurde. Abstrahere heißt wegziehen: aber wovon zieht der Mathematiklehrer weg? Wenn er das nicht begreifbar macht, bleibt er unverständlich.“

Und? Wovon zieht er weg?

„Das einfachste Beispiel dafür ist die Multiplikation. Dass drei mal vier zwölf ergibt, lernt man im Einmaleins auswendig und denkt gar nicht mehr darüber nach, dass hinter dieser Rechnung Bilder stecken, aus denen sie hervorgegangen ist. Einerseits das Bild, dass man die Zahl vier dreimal addiert, gleichsam |||| drei Mal als |||| |||| ||||, also als zwölf anschreibt. Andererseits das viel verlockendere Bild, dass man ein Rechteck der Länge vier und der Breite drei vor Augen hat und dessen Flächeninhalt ermittelt, gleichsam einen rechteckigen Boden der Maße 3 Meter mal 4 Meter mit jeweils einen Quadratmeter großen Fliesen bedeckt. Aus diesem Bild des Rechtecks stammen Formeln wie ,a plus b zum Quadrat ist a-Quadrat plus 2 mal a mal b plus b-Quadrat‘, die man abstrakt sofort versteht, wenn man das anschauliche Bild eines Quadrats der Seitenlänge a plus b vor Augen hat.“

Die meisten von uns verspüren jenseits der Oberstufe kaum mehr das Verlangen, ein Skalarprodukt als Rechenoperation mit n-Tupeln zu bilden oder Ableitungsfunktionen für Polynomfunktionen zu bilden. Was entgegnen Sie der ,Das brauch ich doch nie wieder‘-Fraktion?

„Die Frage ,Wozu brauch ich das?‘ enthüllt die Seelenlage des Fragenden: ,Gut‘, so meint er, ,es scheint für ein paar Leute wichtig zu sein. Ich will es auch trainieren, um die Prüfung zu schaffen. Aber es spricht mich nicht an.‘ Wenn ich daher die Frage ,Wozu brauch ich das?‘ höre, weiß ich sofort, dass ich bei meinem Erklärungsversuch versagt habe. Der ,Das brauch ich doch nie wieder‘-Fraktion antworte ich daher: ,Ich habe es Euch wohl nicht gut genug erklärt.‘“

Mathe besser verstehen mit Donald Duck

Mag ja sein, aber aber worin besteht denn nun die Relevanz der Ableitungsfunktionen für Polynomfunktionen fürs eigene Leben?

„Die ,Ableitung einer Funktion‘ ist ein interessantes intellektuelles Abenteuer: Eine Funktion wird als Kurve dargestellt. Zwei voneinander verschiedene Punkte der Kurve geradlinig zu verbinden, ist ein Kinderspiel. Sind die beiden Punkte jedoch an der gleichen Stelle, gibt es unzählig viele gerade Linien durch diesen einen Kurvenpunkt. Eine einzige dieser geraden Linien zeichnet sich jedoch durch eine besondere Eigenschaft aus: sie ergibt sich, wenn zuvor die beiden Punkte auf der Kurve voneinander verschieden waren, man also deren Verbindungsgerade zeichnet (oder ,berechnet‘), und wenn dann diese beiden Punkte in einen einzigen verschmelzen.

Macht man dies raffiniert – und Newton und Leibniz waren die beiden Genies, die dieses Raffinement besaßen – tritt die Tangente an die Kurve als diese eine unter den unzählig vielen geraden Linien hervor. Das, was als bleibender Eindruck vermittelt werden sollte, ist die Bewunderung für die Kunst, aus einer Fülle von Geraden die gerade „richtige“ wählen, genauer: berechnen zu können. Und man kann daraus ein Verfahren entwickeln, das die Ingenieure zur Berechnung von Geschwindigkeiten, Beschleunigungen, ja von Änderungen aller Art wie ein Kochrezept anwenden, ohne dass sie an das eigentliche Wunder erinnert werden.“

Welches mathematische Niveau sollte ein erwachsener Mensch Ihrer Ansicht nach erreichen, um als wirklich gebildet gelten zu können?

„Ein gebildeter Mensch sollte, wenn Namen wie Pythagoras, Archimedes, Newton, Leibniz, Euler, Gauß, Gödel fallen, damit verbinden können, welche epochalen mathematischen Leistungen wir diesen Namensträgern zu verdanken haben. Unbescheiden, wie ich bin, würde ich sogar noch mehr Namen nennen: Hypatia, Descartes, Pascal, Riemann, von Neumann…“

Wie kann man als Erwachsener noch Wege zur Mathematik finden – und warum sollte man es versuchen?

„Schon aus Eigeninteresse antworte ich: Es gibt ein paar Bücher, die von Mathematik zu erzählen verstehen. Sie lehren zwar nicht rechnen, aber lassen ein wenig von dem Faszinierenden ahnen, das die Mathematik in sich birgt. Höchst empfehlenswert ist der uralte Disney-Film ,Donald Duck in Mathmagic Land‘ von 1959 – ein Juwel, weil Walt Disney einer der besten Geschichtenerzähler aller Zeiten war.“


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